miércoles, 16 de abril de 2014

Felix Hausdorff

Felix Hausdorff (8 de noviembre de 1868, 26 de enero de 1942) fue un matemáticoalemán que está considerado como uno de los fundadores de la Topología moderna y que ha contribuido significativamente a la teoría de conjuntos, la teoría descriptiva de conjuntos, la teoría de la medida, el análisis funcional y la teoría de funciones.

En 1909, mientras ahondaba en el estudio de conjuntos parcialmente ordenados de sucesiones de números reales, encontró lo que hoy conocemos como el principio maximal de Hausdorff; con lo que fue el primero en aplicar un principio maximal en Álgebra. En su obra clásica de 1914 Grundzüge der Mengenlehre, definió y estudió los conjuntos parcialmente ordenados de manera abstracta, usando el axioma de elección, y probó que todo conjunto parcialmente ordenado tiene un subconjunto maximal linealmente ordenado. En este mismo libro, axiomatizó el concepto topológico de entorno e introdujo los espacios topológicos conocidos como espacios de Hausdorff. En 1914, usando el axioma de elección, obtuvo una descomposición "paradójica" de la 2-esfera como la unión disjunta de cuatro conjuntos A, B, C y Q, donde Q es numerable y los conjuntos A, B, C y B $\cup$ C son mutuamente congruentes. Esto inspiró más tarde la descomposición de la esfera en tres dimensions de Banach-Tarski. Hausdorff introdujo asimismo los conceptos medida de Hausdorff y dimensión de Hausdorff, que son cruciales en el estudio de la teoría de fractales. En Análisis, resolvió lo que llamamos hoy problema del momento de Hausdorff. Nuestro biografiado publicó aún trabajos filosóficos y literarios bajo el seudónimo de "Paul Mongré".

Jean-Baptiste Joseph Fourier

Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourierrecibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al efecto invernadero en un tratado. Se le dedicó un asteroide que lleva su nombre y que fue descubierto en 1992.

Trabajos:Fue en Grenoble donde condujo sus experimentos sobre la propagación del calor que le permiten modelar la evolución de la temperatura a través de series trigonométricas. Estos trabajos mejoraron el modelado matemático de fenómenos físicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinámica.

Sin embargo, la simplificación excesiva que proponen estas herramientas fue muy debatida, principalmente por Pierre-Simon Laplace y Joseph-Louis Lagrange.

Redacta el prefacio histórico de la obra Description de l'Egypte y publica en 1822 su célebre Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor). Seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. En esto introduce la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier.

El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables reales.

En la obra Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor) (1822) de Fourier, los dos primeros capítulos tratan problemas sobre difusión de calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, es decir el problema discreto.

Aquí se deduce además la ecuación en derivadas parciales que rige el fenómeno: Donde: V=V(x, y, z, t) designa la temperatura del cuerpo en el punto (x, y, z) en el momento t; k el coeficiente de difusión del calor, C la constante de capacidad calórica del cuerpo y D la densidad.

En el capítulo III Difusión del calor en un cuerpo rectangular infinito es donde Fourier introduce su método original de trabajo con series trigonométricas.

Otro trabajo importante de J. Baptiste J. Fourier fue en el método de eliminación para la solución de un sistema de desigualdades, teoría muy usada actualmente para programación linea

Gaspard Monge

Gaspard Monge (9 de mayo de 1746¹ - 28 de julio de 1818) fue unmatemático francés, inventor de la geometría descriptiva.

Por orden de Napoleón se apropia de tres imprentas en el Vaticano que les ayudarán en su nueva expedición. Es invitado a participar en la expedición a Egipto, pero alega que ya esta muy avanzado de edad para participar en esta empresa. Sin embargo, Napoleón lo logra persuadir y cambia de opinión. Se convierte en uno de los confidentes del joven general en Egipto y se convirtió en el primer presidente del Instituto de Egipto, fundado en agosto de 1789. Además, preparó un trabajo sobre los espejismos durante su estadía en el oriente.

La geometría descriptiva

Monge es considerado el inventor^{[cita requerida]} de la geometría descriptiva. La geometría descriptiva es la que nos permite representar superficies tridimensionales de objetos sobre una superficie bidimensional. Existen diferentes sistemas de representación que sirven a este fin, como laperspectiva cónica, el sistema de planos acotados, etc. pero quizás el más importante es el sistema diédrico, que fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799.

Joseph-Louis de Lagrange

Joseph-Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un físico,matemático y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.

La mayor parte de sus artículos sobre álgebra los envió a la Academia de Berlín. Cabe destacar:

Su discusión de la solución enteras de las formas cuadráticas, 1769, y generalmente de ecuaciones indeterminadas,1770.

Su tratado de la teoría de eliminación de parámetros, 1770.

Sus papeles en el proceso general por resolver una ecuación algebraica de cualquier grado, 1770 y 1771; este método falla para las ecuaciones de un orden superior al cuarto, porque involucra la solución de una ecuación de orden superior, pero da todas las soluciones de sus predecesores.

La solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado, esta ocupa el último lugar en los papeles mencionados.

Por último, en 1773, su tratamiento de determinantes de segundo y tercer orden, y de sus invariantes.

Teoría de números[editar]

Su prueba del teorema que cada entero positivo que no es un cuadrado puede expresarse como la suma de dos, tres o cuatro cuadrados de enteros, 1770.

Su demostración del teorema de Wilson que dice que si n es un número primo, entonces ( n - 1)! + 1 siempre es un múltiplo de n , (1771).

Sus artículos de 1773, 1775, y 1777, donde da las demostraciones de varios resultados enunciadas por Fermat, y no demostrados previamente.

Y, por último, su método para determinar los factores de números de la forma $x^2 + ay^2.$

Algunos de sus artículos iniciales también tratan de cuestiones conectadas con el abandonado pero singularmente fascinante tema de la teoría de números. Entre éstos se encuentran los que tratan sobre lo siguiente:

Leonhard Euler

Leonhard Paul Euler (pron. AFI: [ˈɔʏlɐ] en alemán, AFI: [ˈoɨler] en español) (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemáticoy físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.¹ Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.² Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»³

En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

Euler trabajó prácticamente en todos los ámbitos de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, aportó de manera relevante a la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática,¹ siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados porNewton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.

Johann Bernoulli

Johann Bernoulli (Basilea, Suiza, 27 de julio de 1667 - ibídem, 11 de enero de 1748), también conocido como Jean o John, fue un matemático,médico y filólogo suizo.

En las ciencias aplicadas Johannes I contribuyó notablemente a los estudios de la óptica, escribió sobre la teoría de las mareas, y sobre la teoría matemática de las velas de los barcos, y enunció el principio de los desplazamientos virtuales en la mecánica. Johannes I fue un hombre de extraordinario vigor físico e intelectual, permaneciendo activo hasta pocos días antes de su muerte a la edad de 80 años. Las novedades matemáticas de Leibniz sobre el cálculo infinitesimal cautivaron a ambos hermanos. En 1691 viaja a Paríspara guiar a los matemáticos franceses en el uso del cálculo entre los cuales se hallaba el marqués de Guillaume de l'Hôpital. En Francia se convirtió en defensor de Leibniz en la polémica que mantenía con Isaac Newton por quien había sido el primero en enunciar los principios del cálculo infinitesimal. En 1695 el científico holandés Christiaan Huygens le invita a convertirse en presidente del departamento de matemáticas de la Universidad de Groninga. En 1705, tras la muerte de su hermano por tubercolosis, le sustituyó como catedrático de matemáticas en la Universidad de Basilea, donde permaneció durante 42 años como profesor, allí tuvo como discípulos a Johann Samuel König y Leonhard Euler. Se centró en el cálculo infinitesimal y resolvió la ecuación diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano. Sus hijos Nicolau, Daniel y Johann Bernoulli fueron grandes matemáticos.

Isaac Newton

Astronomía, física, teología,alquimia y matemática

Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 _JU – 20 de marzo de 1727 _JU) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como losPrincipia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obraOpticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.

Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que elespectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prismaes inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad.

Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de larevolución científica. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo."

Réplica de un telescopio construido por Newton.

John Wallis

John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616 – Oxford, 28 de octubre de 1703) fue un matemático inglés a quien se atribuye en parte el desarrollo del cálculomoderno. Fue un precursor del cálculo infinitesimal (introdujo la utilización del símbolo ∞ para representar la noción de infinito). Entre 1643 y 1689 fue criptógrafodel Parlamento y posteriormente de la Corte real. Fue también uno de los fundadores de la Royal Society y profesor en la Universidad de Oxford.

En 1655, Wallis publicó un tratado sobre secciones cónicas en el que las define analíticamente. Este fue el primer libro en el que estas curvas fueron consideradas y definidas como curvas de segundo grado. Contribuyó a eliminar algunas de las dificultades y oscuridades presentes en los trabajos de René Descartes sobre geometría analítica.

En 1656 se publicó Arithmetica Infinitorum, el trabajo más importante de Wallis. En este tratado, los métodos de análisis de Descartes y Cavalieri fueron ampliados y sistematizados, aunque algunas ideas recibieron críticas. Tras un corto periodo centrado en las secciones cónicas, comenzó desarrollando una notación estándar para las potencias, ampliándola desde los números enteros positivos hasta los números racionales:

$x^{0}$ $=$ $1$ , $x^{-1}$ $=$ $1/x$ , $x^{-2}$ $=$ $1/x^2$ , etc.

$x^{1/2}=\sqrt{x}$ , $x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}$ , etc.

$x^{1/n} = \sqrt[n]{x}$ .

$x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$ .

$y = \sum_{m}^{} ax^{m}$
$\int_0^1x^{1/m}\,dx$

Dejando al margen las múltiples aplicaciones algebraicas de este descubrimiento, se dedicó a calcular, medianteintegración, el área encerrada entre la curva $y = x^m$ , el eje $x$ y cualquier ordenada $x = h$ . Demostró que la relación entre esta área y el paralelogramo de la misma base y la misma altura era $1/(m+1)$ . Aparentemente, él asumió que el mismo resultado sería cierto para la curva $y = ax^m$ , donde $a$ es cualquier constante y $m$ cualquier número positivo o negativo; sin embargo, únicamente desarrolló el caso de la parábola, donde $m=2$ , y el de la hipérbola, donde $m=-1$ . En este último caso, su interpretación del resultado fue errónea.

Mostró que se podían obtener similares resultados para cualquier curva con la forma

y por tanto, puede determinarse el área de cualquier curva cuya ordenada $y$ pueda ser representada mediante potencias de $x$ , es decir, si la ecuación de la curva es:

$y = x^0 + x^1 + x^2 + ...$

su área será:

$x + x^2/2 + x^3/3 + ...$

Aplicó este razonamiento a la integración de las curvas y = (x − x²)⁰, y = (x − x²)¹, y = (x − x²)², ... entre los límites x = 0 y x = 1, y demostró que las áreas respectivas eran: 1, 1/6, 1/30, 1/140, ...

A continuación, estudió las curvas del tipo y = x^1/m y formuló el teorema de que el área comprendida entre estas curvas y las abscisas x = 0 y x = 1 es igual al área del rectángulo de la misma base y la misma altura como m : m + 1. Es decir: