MATEMÁTICOS DE LA HISTORIA

John Wallis

John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616 – Oxford, 28 de octubre de 1703) fue un matemático inglés a quien se atribuye en parte el desarrollo del cálculomoderno. Fue un precursor del cálculo infinitesimal (introdujo la utilización del símbolo ∞ para representar la noción de infinito). Entre 1643 y 1689 fue criptógrafodel Parlamento y posteriormente de la Corte real. Fue también uno de los fundadores de la Royal Society y profesor en la Universidad de Oxford.

En 1655, Wallis publicó un tratado sobre secciones cónicas en el que las define analíticamente. Este fue el primer libro en el que estas curvas fueron consideradas y definidas como curvas de segundo grado. Contribuyó a eliminar algunas de las dificultades y oscuridades presentes en los trabajos de René Descartes sobre geometría analítica.

En 1656 se publicó Arithmetica Infinitorum, el trabajo más importante de Wallis. En este tratado, los métodos de análisis de Descartes y Cavalieri fueron ampliados y sistematizados, aunque algunas ideas recibieron críticas. Tras un corto periodo centrado en las secciones cónicas, comenzó desarrollando una notación estándar para las potencias, ampliándola desde los números enteros positivos hasta los números racionales:

$x^{0}$ $=$ $1$ , $x^{-1}$ $=$ $1/x$ , $x^{-2}$ $=$ $1/x^2$ , etc.

$x^{1/2}=\sqrt{x}$ , $x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}$ , etc.

$x^{1/n} = \sqrt[n]{x}$ .

$x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$ .

$y = \sum_{m}^{} ax^{m}$
$\int_0^1x^{1/m}\,dx$

Dejando al margen las múltiples aplicaciones algebraicas de este descubrimiento, se dedicó a calcular, medianteintegración, el área encerrada entre la curva $y = x^m$ , el eje $x$ y cualquier ordenada $x = h$ . Demostró que la relación entre esta área y el paralelogramo de la misma base y la misma altura era $1/(m+1)$ . Aparentemente, él asumió que el mismo resultado sería cierto para la curva $y = ax^m$ , donde $a$ es cualquier constante y $m$ cualquier número positivo o negativo; sin embargo, únicamente desarrolló el caso de la parábola, donde $m=2$ , y el de la hipérbola, donde $m=-1$ . En este último caso, su interpretación del resultado fue errónea.

Mostró que se podían obtener similares resultados para cualquier curva con la forma

y por tanto, puede determinarse el área de cualquier curva cuya ordenada $y$ pueda ser representada mediante potencias de $x$ , es decir, si la ecuación de la curva es:

$y = x^0 + x^1 + x^2 + ...$

su área será:

$x + x^2/2 + x^3/3 + ...$

Aplicó este razonamiento a la integración de las curvas y = (x − x²)⁰, y = (x − x²)¹, y = (x − x²)², ... entre los límites x = 0 y x = 1, y demostró que las áreas respectivas eran: 1, 1/6, 1/30, 1/140, ...

A continuación, estudió las curvas del tipo y = x^1/m y formuló el teorema de que el área comprendida entre estas curvas y las abscisas x = 0 y x = 1 es igual al área del rectángulo de la misma base y la misma altura como m : m + 1. Es decir:

MATEMÁTICOS DE LA HISTORIA

miércoles, 16 de abril de 2014

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